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Nombres et jeux mathématiques

Nombres Le nombre d'or Le nombre PI Le nombre e Les nombres premiers Les nombres de Mersenne Les nombres parfaits
Formules Dénombrement Factorielle Arrangement Combinaison Somme des n premiers entiers Somme des n premiers carrés Somme des n premiers cubes Décomposition en facteurs premiers Le P.G.C.D. Le P.P.C.M.
Propriétés et curiosités Somme de nombre impairs consécutifs Addition surprenante Divisibilité
Jeux mathmématiques Le carré magique Suite logique à compléter Faire 21 avec 1, 5, 6, 7 et + - * / Faire toujours 6 Le compte est bon Liens

Les nombres

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Le nombre d'or
(1+√5)/2 = 1,61803398...
Le nombre pi
π = 3,1415926535897932384626433832795...
Le nombre e
e = 2.7182818284...
e est la limite de (1 + 1/n)^n quand n tend vers l'infini.
C'est la base des logarithmes népériens : y = ln(x) signifie e^y =x (on a donc ln(e) = 1)
on démontre que e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! ...
ce qui donne : e = 2 + 1/2! + 1/3! + 1/4! ...
Les nombres premiers
Un nombre premier admet pour seuls diviseurs 1 et lui-même.
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 ...
Les nombres de Mersenne
Un nombre de Mersenne est de la forme 2^n - 1 où n est un entier naturel.

Remarque : Un nombre de Mersenne s'écrit avec n 1 en base 2. Il porte le nom de répunit.
Entrer un nombre :    
Une condition nécessaire (mais non suffisante !) pour qu'un nombre de Mersenne soit premier est que l'exposant n soit lui même premier.
Valeurs de n pour lesquelles le nombre de Mersenne est premier :
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 ,127, 521, 607 ...

Au 25 janvier 2013, on connait 48 nombres premiers de Mersenne. Pour suivre les dernières découvertes : www.mersenne.org

Les nombres parfaits
Un nombre parfait est égal à la somme de ces diviseurs (sauf lui-même bien sûr).
Voici les premiers :
6     = 1 + 2 + 3
28   = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Euclide a démontré qu'un nombre premier de la forme 2^n-1 engendre un nombre parfait avec la formule suivante :
2^(n-1)*(2^n - 1)
Ex avec n= 5 : 2^(4)*(2^5 -1) = 16 * (32-1) = 496
Entrer un nombre :    

Les huit premiers nombres parfaits
6 , 28 , 496 , 8.128 , 33.550.336 , 8.589.869.056, 137.438.691.328, 2.305.843.008.139.952.128

Les formules

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Somme des n premiers entiers
S = n*(n+1) / 2
ex  1+2+3+4+5+6 = 6*7 / 2 = 21
Entrer un nombre :    
Somme des n premiers carrés
S = n*(n+1)*(2*n+1) / 6
Exemple avec n = 5
1²+2²+3²+4²+5² = 1+4+9+16+25 = (5*6*11)/6 = 55

Entrer un nombre :    
Somme des n premiers cubes
S = (n*(n+1) / 2)²
exemple avec n=4
1^3+ 2^3+ 3^3 + 4^3 = 1+8+27+64 = (4*5/2)² = 100

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Décomposition d'un nombre en facteurs premiers
Tout nombre qui n'est pas un nombre premier se décompose en un produit de nombres premiers.
Le PGCD : le plus grand commun diviseur
Pour obtenir le PGCD de plusieurs nombres, il faut faire la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre puis faire le produit de tous les facteurs premiers communs à ces nombres avec leur plus petit exposant.
Le PPCM : le plus petit commun multiple de plusieurs nombres
Pour obtenir le PPCM de plusieurs nombres, il faut faire la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre puis faire le produit de tous les facteurs premiers apparus dans les décompositions, chacun n'étant pris qu'une fois avec son plus grand exposant.
Dénombrement
C'est le nombre de sous-ensembles possible d'un ensemble
2^n
Exemple avec 3 éléments {a,b,c}
{},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} = 8 = 2^3
Entrer un nombre :    
Factorielle
C'est le nombre de permutations possible d'un ensemble n! = 1x2x3...(n-1)xn
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800

Exemple avec l'ensemble {a,b,c}
{a,b,c}, {a,c,b}, {b,a,c}, {b,c,a}, {c,a,b}, {c,b,a} = 6 = 3!
Entrer un nombre :    
Arrangement de p élément parmi n
A(p,n) = n! / (n-p)!
C'est le nombre de permutations ordonnées possibles de p éléments parmi n

Exemple avec {a,b,c}, A(2,3) = 6
{a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a}, {b,c}, {c,b}
Entrer p et n :     
Combinaison de p élément parmi n
C(p,n) = n! / (n-p)! * p!
C'est le nombre de permutations sans ordre possibles de p éléments parmi n

Exemple avec {a,b,c}, C(2,3) = 3
{a,b}, {a,c}, {b,c}
Entrer p et n :     

Propriétés et curiosités

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Une somme de nombres impairs consécutifs est égal à un carré.
exemple :
1+3 = 4 = 2²
1+3+5 = 9 = 3²
1+3+5+7 = 16 = 4²
1+3+5+7+9 = 25 = 5²
1+3+5+7+9+11 = 36 = 6²
1+3+5+7+9+11+13 = 49 = 7²
Addition surprenante :
1+2 = 3
4+5+6 = 7 + 8
9+10+11+12 = 13+14+15
16+17+18+19+20 = 21+22+23+24
...etc
Remarque : chaque ligne commence par les carrés des nombres entiers : 1,4,9,16..
Divisibilité
Un nombre est divisible par :

2 s'il se termine par 0,2,4,6 ou 8
3 si la somme de ces chiffres aboutit à 3,6 ou 9
4 si ces deux derniers chiffres sont 00 ou sont divisibles par 4
5 s'il se termine par 0 ou 5
6 s'il est divisible par 2 et 3
7 rien de simple, faite la division !
8 si ces trois derniers chiffres sont 000 ou sont divisibles par 8
9 si la somme de ces chiffres aboutit à 9

Casse-tête et jeux mathématiques

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Le carré magique
Un carré est magique lorsque la somme de chaque ligne, chaque colonne et des deux diagonales est égal à une constante.

Exemple :

492
357
816
Suites logiques à compléter (sélectionner la fin de ligne pour voir la solution)
0, 10, 1110, 3110, 132110 ? 13123110 : nombres de chiffre du précédent : 1 trois 1 deux 3 un...
4, 2, 4, 5, 6, 4, 3, 4, 4 ? 4 : nombre de lettres de zéro,un,deux,trois...
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ? 21 : suite de Fibonacci : somme des deux précédents
2, 3, 3, 5, 10, 13, 39, 43, 172, 177 ? 885 : séquence +1,x1,+2,x2,+3,x3...
Casse-tête arithmétique (sélectionner la fin de ligne pour voir la solution)
1) Faire 21 avec les chiffres 1, 5, 6, 7 et + - * / 6 / (1- 5/7) = 21

2) En ajoutant les opérations que vous voulez, faites toujours 6
0 0 0 = 6 (0!+0!+0!)! car 0! = 1
1 1 1 = 6 (1+1+1)!
2 2 2 = 6 -> Exemple 2 + 2 + 2 = 6
3 3 3 = 6 3x3-3
4 4 4 = 6 √4+√4√4
5 5 5 = 6 5 + (5 / 5)
6 6 6 = 6 6 + 6 - 6
7 7 7 = 6 7 - (7 / 7)
8 8 8 = 6 √8+√8√8 où ici √ est la racine cubique
9 9 9 = 6 (√9)! + 9 - 9
Le compte est bon (sélectionner la fin de ligne pour voir la solution)
D'après le légendaire jeu télévisé : Les chiffres et les lettres
La contrainte ici est d'utiliser tous les chiffres. (il existe souvent de nombreuses solutions)

861 avec 3 4 4 5 10 7 -> Exemple ((3x10x7)+4)x4+5
556 avec 3 4 8 25 6 3 (((3+8) x 25 ) + 3 ) x ( 6 - 4 )
287 avec 8 10 4 3 8 5 ((8x10)+5)x3 + (4x8)
261 avec 25 4 3 7 25 3 ((7x25) - ((25-3)x4)) x 3
707 avec 6 9 3 25 9 10 ((6x9) - 10) x (25 - 9) + 3
598 avec 6 8 9 9 7 1 ((9x9)-1)x8 - (6x7)

Liens

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Les sites suivants constituent déjà une véritable encyclopédie !
www.chronomath.com : chronologie des mathématiques, passionnant !
perso.wanadoo.fr/yoda.guillaume : l'almanach des nombres, très complet
www.recreomath.qc.ca : base de jeux et récréation mathématiques
www.maths-rometus.org : Maths et histoire, Maths au collège, Maths et nombres, Maths et mots, Maths et liens par Jean-Luc Romet

carredas.free.fr : récréation mathématiques, énigmes et problèmes
trucsmaths.free.fr/ : des trucs et des maths (pi, nombre d'or, rubik's cube...)
www.research.att.com : L'Encyclopédie Électronique des Suites Entières
www.theory.csc.uvic.ca : The (Combinatorial) Object Server

En anglais mais indispensable !
mathworld.wolfram.com : Mathworld, le site créé par Eric Weisstein.